2004 YILININ SORULARI

Ocak 2004

Soru :

Her x reel sayısı için, [x],  x değerini geçmeyen maksimal tamsayı olsun.   n = 1, 2, 3, … dizisinin sonsuz tane karmaşık sayı içerdiğini ispat ediniz.

 

Çözüm

 

 Doğru Çözenler  
Henry Shin University of California, San Diego, ABD
Usko Lahti Hyvinkaan Sveitsin lukio, Finlandiya
Boris Bukh University of California, Berkeley, ABD
Athanasios Papaioannou Boston, ABD
Michael Lipnowski St.John's Ravenscourt School, Winnipeg, Kanada
Jacob Tsimerman Toronto, Kanada
Ali Adalı Bilkent Üniversitesi
François Glineur Mons, Belçika
Yufei Zhao Don Mills C.I., Toronto, Kanada

 

Şubat 2004

Soru :

a ve b, a ≠ b, eşit olmayan iki tamsayı olsun.  polinomunun, katsayıları tamsayı olan ve sabit olmayan iki polinomun çarpımı olarak yazılamayacağını ispat ediniz.

Çözüm

 

 

 Doğru Çözenler  
Yufei Zhao Don Mills C.I., Toronto, Kanada
Athanasios Papaioannou Boston, ABD
Jacob Tsimerman Toronto, Kanada
Ali Adali Bilkent Üniversitesi
Usko Lahti Hyvinkaan Sveitsin lukio, Finlandiya
R. Hood B.C. Hydro, British Columbia, Kanada
Umut Uludağ Michigan State University, USA
Ruşen Kaya Çukurova Üniversitesi, Adana
François Glineur Mons, Belçika
Fatih Selimefendigil İstanbul Teknik Üniversitesi, İstanbul
Bezirgen Veliyev Boğaziçi Üniversitesi, İstanbul
Henry Shin University of California, San Diego, ABD
Michael Lipnowski St.John's Ravenscourt School, Winnipeg, Kanada

 

Mart 2004

Soru :

a ve b sayıları 2004’ten küçük doğal sayılar ise,  ifadesini doğal sayı yapan kaç (a, b) sayı çifti olduğunu bulunuz.

Çözüm

 

 

 

 

 Doğru Çözenler  
Fatih Selimefendigil İstanbul Teknik Üniversitesi, İstanbul
Yufei Zhao Don Mills C.I., Toronto, Kanada
Athanasios Papaioannou Boston, ABD
François Glineur Mons, Belçika
Henry Shin University of California, San Diego, ABD
Fahri Alkan Bilkent Üniversitesi, Ankara
Emre Çakır Bilkent Üniversitesi, Ankara
Usko Lahti Hyvinkaan Sveitsin lukio, Finlandiya
John Campbell John F. Ross, C.V.I., Guelph, Ontorio, Kanada
Michael Lipnowski St.John's Ravenscourt School, Winnipeg, Kanada

Ha Duy Hung

Hanoi University of Education, Vietnam
Ali Adalı Bilkent Üniversitesi, Ankara
Vlad Petrescu University of Florida, ABD
Dimitri Dziabenko Don Mills Middle School, Toronto, Kanada

İhsan Aydemir Ümraniye Lisesi, İstanbul

 

Nisan 2004

Soru :

 ve  olsun. a sayısının bir tamsayı olduğunu ispatlayınız ve a (mod 5)’i bulunuz.

Çözüm

 

 

 

 

 

 Doğru Çözenler  
Yufei Zhao Don Mills C.I., Toronto, Kanada
Fatih Selimefendigil İstanbul Teknik Üniversitesi, İstanbul
Athanasios Papaioannou Boston, ABD
Ali Adalı Bilkent Üniversitesi, Ankara
Michael Lipnowski St.John's Ravenscourt School, Winnipeg, Kanada
Suat Gümüşsoy Ohio State University, ABD

Ha Duy Hung

Hanoi University of Education, Vietnam
Usko Lahti Hyvinkaan Sveitsin lukio, Finlandiya
Ruşen Kaya Çukurova Üniversitesi, Adana
Luigi Bernardini Monza, İtalya
Vlad Petrescu University of Florida, ABD
Samet Karakaş Bilkent Üniversitesi, Ankara
Onur Erten Bilkent Üniversitesi, Ankara

 

Mayıs 2004

Soru :

Tüm doğal sayılar kümesini, her ikisi de sonsuz aritmetik dizi içermeyen iki gruba ayırmak mümkün müdür?

 

Çözüm

 

 

 

 Doğru Çözenler  
Henry Shin University of California, San Diego, ABD
Athanasios Papaioannou Boston, ABD
Bruno Langlois Lycee Rabelais, Meudon, Fransa
Luigi Bernardini Monza, Italya
Usko Lahti Hyvinkaan Sveitsin lukio, Finlandiya
Mustafa Turgut Isparta
Michael Lipnowski St.John's Ravenscourt School, Winnipeg, Kanada
Büşra Turgut Antalya
Ali Adalı Bilkent Üniversitesi, Ankara

 

Haziran 2004

Soru :

Negatif olmayan ve  eşitliğini sağlayan her a, b ve c sayıları için  ifadesini ispatlayınız.

Çözüm

 

 

 

 

 Doğru Çözenler  
Michael Lipnowski St.John's Ravenscourt School, Winnipeg, Kanada
Jan Mazak Camenius University, Bratislava, Slovakya
Ali Adalı Bilkent Üniversitesi, Ankara
Julien Santini Universite de Provence, Fransa
Henry Shin University of California, San Diego, ABD
Caner Koca Bilkent Üniversitesi, Ankara
Athanasios Papaioannou Boston, ABD
Fatih Selimefendigil Technical University of Munich, Almanya
François Glineur Mons, Belçika
Luigi Bernardini Monza, Italya
Dimitri Dziabenko Don Mills C.I., Toronto, Kanada
Usko Lahti Hyvinkaan Sveitsin lukio, Finlandiya
Pisupati Raja Sektar Madras, Hindistan
Meagan Thompson Cambridge, Massachusetts, ABD
Mehmet Uzunkal Sabancı Üniversitesi, Istanbul
Mehdi Abdeh - Kolahchi Halifax West High School, Halifax, Kanada

 

Temmuz - Ağustos 2004

Soru :

1, 2, 3, ... doğal sayılar dizisinde bazı elemanların yerlerini o şekilde değiştirin ki, ilk k terimin toplamı k ile bölünebilsin.

 

Çözüm

 

 Doğru Çözenler  
François Glineur Mons, Belçika
Athanasios Papaioannou Boston, ABD
Julien Santini Universite de Provence, Fransa
Ali Adalı Bilkent Üniversitesi, Ankara

 

Eylül 2004

Soru :

f fonksiyonu [0,1] aralığında tanımlı ve aşağıdaki şartları sağlıyor olsun

a)       

b)        her  için dir.

  denkleminin sonsuz sayıda çözümü olduğunu ispatlayınız. Yukarıdaki şatları sağlayan ve [0,1] aralığının hiçbir alt aralığında sabit sıfır fonksiyonu olmayan bir örnek veriniz

Çözüm

 

 

 Doğru Çözenler  
Özcan Yazıcı Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara
Henry Shin University of California, San Diego, ABD
Sridhar Eaturu Indian Institute of Technology, Bombay, Hindistan
Julien Santini Universite de Provence, Fransa
Athanasios Papaioannou Boston, ABD
Ali Adalı Bilkent Üniversitesi, Ankara
Yunus Karabulut Boğaziçi Üniversitesi, Istanbul
 
     
     
     

 

Ekim 2004

Soru :

 eşitsizliğini her reel x sayısı ve her n doğal sayısı için ispatlayınız.

Çözüm

 

 Doğru Çözenler  
Athanasios Papaioannou Boston, ABD
François Glineur Mons, Belçika
Asger Hvide Olesen Toender, Danimarka
Ali Adalı Bilkent Universitesi, Ankara
Konstantinos Drakakis University of Edinburg, İngiltere

 

Kasım 2004

  

Soru :

Her i = 2, 3, 4, 5,6 için

 ,   (*)

eşitsizliğini sağlayan ve negatif olmayan , , ,  ve  reel sayılarını bulunuz. Negatif olmayan herhangi , , ,  ve  reel sayılarının (*) eşitsizliğini en az bir i,  için sağladığını ispatlayınız.

Çözüm

Doğru Çözenler
Seymur Cahangirov Hacettepe University, Ankara
Asger Hvide Olesen Toender, Denmark
Konstantinos Drakakis University of Edinburg, UK
Ali Adalı Bilkent University, Ankara
Athanasios Papaioannou Boston, USA
Jan Mazak Camenius University, Bratislava, Slovakia
Ekrem Emre Kutahya
Aycan Uslu Samanyolu Fen Lisesi, Ankara

 

Aralık 2004

  

Soru :

n doğal sayısı olmak üzere,  ve  sayılarının başlangıç basamakları aynı a sayısı olsun:

 ve  .

a’nın alabileceği tüm değerleri bulunuz.

Çözüm

 

Doğru Çözenler  
Athanasios Papaioannou Boston, ABD
Ali Adalı Bilkent Üniversitesi, Ankara
G.R.A.20 Math Problems Group İtalya
İhsan Yücel Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Samsun
Yunus Esencayı Middle East Technical Üniversitesi, Ankara
İsmail Sağlam Bilkent Üniversitesi, Ankara
Samet Karakaş Bilkent Üniversitesi, Ankara
Onur Erten Bilkent Üniversitesi, Ankara
Konstantinos Drakakis University of Edinburg, İngiltere